【对勾函数何时取最小值】在数学中，对勾函数是一种常见的函数形式，通常指的是形如 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 的函数（其中 $ a > 0, b > 0 $），其图像呈现出“对勾”形状，因此得名。这类函数在实际应用中广泛存在，例如在经济学、物理学和工程学中，常常用来描述成本与产量之间的关系或效率与投入之间的关系。
那么，对勾函数何时取得最小值？这是许多学生和研究者关心的问题。以下是对这一问题的总结与分析。
一、对勾函数的基本性质
对勾函数的一般形式为：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中，$ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $。
- 当 $ x > 0 $ 时，函数是单调递增的；
- 当 $ x < 0 $ 时，函数是单调递减的；
- 在 $ x = 0 $ 处无定义。
由于 $ x $ 不能为 0，所以该函数在定义域上是分段的，分别考虑正负区间。
二、求最小值的方法
为了找到对勾函数的最小值，可以使用导数法或均值不等式法。
方法一：导数法
对函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 求导：
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
令导数等于零，解得临界点：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}} \quad (\text{只考虑 } x > 0)
$$
此时，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得极小值。
方法二：均值不等式法（AM-GM 不等式）
对于 $ x > 0 $，根据 AM-GM 不等式：
$$
ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}} = 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $，即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，等号成立，此时取得最小值。
三、总结对比
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $，其中 $ a > 0, b > 0 $ |
| 定义域 | $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| 最小值出现条件 | 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取得最小值 |
| 最小值大小 | $ f_{\min} = 2\sqrt{ab} $ |
| 是否可导 | 是，导数为 $ f'(x) = a - \frac{b}{x^2} $ |
| 极值点判断 | 通过导数为零的点确定，验证为极小值点 |
四、实际应用举例
假设某工厂生产产品时，总成本为 $ C(x) = 5x + \frac{100}{x} $，其中 $ x $ 表示产量。则：
- $ a = 5 $，$ b = 100 $
- 最小值出现在 $ x = \sqrt{\frac{100}{5}} = \sqrt{20} \approx 4.47 $
- 最小成本为 $ 2\sqrt{5 \times 100} = 2\sqrt{500} \approx 44.72 $
这表明，当产量约为 4.47 时，总成本最低。
五、结论
对勾函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最小值，此时函数值为 $ 2\sqrt{ab} $。无论通过导数法还是均值不等式法，都能得到一致的结果。
理解这一规律有助于在实际问题中优化资源配置、降低成本、提高效率。
