【极限的公式都有哪些】在数学中，极限是微积分和分析学中的基础概念之一，用于描述函数或数列在某个点附近的变化趋势。掌握常见的极限公式对于理解导数、积分以及函数的连续性等概念至关重要。以下是对常见极限公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限等于常数本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋近于某值时，其极限为其本身 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的重要极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ | 不存在（趋于正无穷或负无穷） | 无穷大 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ | 0 | 无穷小 |
| $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ | 0 | 有界函数乘以无穷小仍为无穷小 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}$ | 无穷大 | 无穷小除以更小的无穷小 |
三、洛必达法则适用情况
当遇到不定型如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 时，可以使用洛必达法则：
| 不定型 | 应用规则 | 示例 |
| $\frac{0}{0}$ | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | 同上 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \cdots = 0$ |
四、数列极限常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ | 通项趋于零的数列 |
| $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$ | 与自然对数相关的极限 |
| $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ | 根号下的 n 趋于 1 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$ | 阶乘增长远小于幂函数 |
五、其他重要极限
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 余弦函数的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}$ | 三角函数的高阶极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctan} x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
总结
极限公式是数学分析的核心内容之一，涵盖了从基本的常数极限到复杂的函数极限，再到数列极限等多个方面。掌握这些公式有助于更好地理解和应用微积分的相关知识。在实际计算中，合理使用洛必达法则、泰勒展开等工具可以大大简化极限的求解过程。
